Двоичная система счисления

Двоичная система счисления это позиционная системам счисления имеющая основание системы 2. Алфавит системы состоит только из двух знаков – цифр 0 и 1. Как и в любой позиционной системе счисления при достижении основания системы увеличивается разряд числа, так число 2 записывается как 10, число 3 как 11, число 4 как 100 и так далее.

Кроме записи произношение (прочтение) чисел так же отличается, число 10 читается как «один-нуль», число 11 как «один-один», число 100 как «один-нуль-нуль».

В двоичной системе счисления каждый следующий разряд больше предыдущего в два раза и представлять собой последовательность 2, 4, 8, 16, 32, 64…2ⁿ.

Перевод из двоичной системы и обратно

Перевод из десятичной системы в двоичную осуществляется делением десятичного числа на 2 и записью остатка от деления в обратном порядке, например:

39=19*2+1

19=9*2+1

9=4*2+1

4=2*2+0

2=1*2+0

1=0*2+1

Таким образом, десятичное число 39 в двоичной системе будет иметь вид 100 111.

Перевод числа из двоичной системы в десятичную осуществляется умножением цифры на разряд и сложением полученных результатов, так перевод числа 100 111 в десятичный вид будет выглядеть как:

32*1+16*0+8*0+4*1+2*1+1*1=32+4+2+1=39

Для перевода из двоичной системы в десятичную может так же использоваться «Метод Горнера». Он заключается в сложении цифры разряда с результатом умножения предыдущего результата на основание системы 2.

Так перевод числа 100 111 методом Горнера будет иметь вид:

0*2+1=1 – это первый шаг, по этому предыдущий результат у нас 0 и этот результат умножается на основание системы 2. Обычно используется сокращенная запись числа, то есть нули слева отсекаются, в таком случае число которое мы переводим в двоичной системе, всегда будет начинаться с 1, а предыдущий результат всегда 0. При такой ситуации целесообразно пропускать первый шаг, помня что предыдущим результатом для второго шага будет 1.

1*2+0=2 – значение предыдущего результата 1 умножается на основание системы 2 и складывается с цифрой стоящей в этой позиции.

2*2+0=4

4*2+1=9

9*2+1=19

19*2+1=39

Таким образом перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную методом Горнера, более простой, так как нет необходимости запоминать значение разряда числа, все действия сводятся к привычным операциям умножения и сложения.

Операции в двоичной системе

Операции сложения, вычитания и умножения в двоичной системе выполняются аналогично любой другой позиционной системе. При достижении основания системы осуществляется перенос в старший разряд (для сложения и умножения), или заем из старшего разряда (для вычитания). Например, операция сложения будет иметь вид: 1011+11=1110 или если выполнять сложение столбиком

1011

+   11

1110

Применение двоичной системы

Наряду с шестнадцатеричной системой счисления, наибольшее распространение двоичная система счисления получила в вычислительной технике. В случае с двоичной системой это связанно с простотой реализации – есть только два состояния, которые можно представлять в виде есть напряжение/нет напряжения, есть сигнал/нет сигнала и т.д. В представлении компьютера значения 1 и 0, могут иметь вид «Истинно/Ложно».

 

Читать еще:

Двоичная система счисления — Wikipedia

Кроссворды с примерами в двоичной системе счисления